Modelado matemático en sistemas de escalas múltiples

Muchos sistemas de interés práctico, tanto en ciencias básicas e ingeniería como en ciencias de la salud, son de naturaleza jerárquica. Lo anterior implica que los procesos que ocurren a un determinado nivel de escala, están determinados por lo que ocurre en niveles de escala inferiores. Actualmente, existen técnicas de escalamiento que permiten deducir las ecuaciones de transporte (de cantidad de movimiento, calor o masa) a un cierto nivel de escala a partir de sus contrapartes en otros niveles de escala. En este sentido, es fundamental contar con una descripción apropiada de los fenómenos de transporte en el nivel de escala inferior, para posteriormente llevar a cabo el escalamiento de dichas ecuaciones y deducir las ecuaciones gobernantes en el nivel de escala superior.

El objetivo de este texto es proporcionar de los elementos fundamentales para formular ecuaciones de transporte de cantidad de movimiento, calor y masa tanto al nivel de escala del continuo como para deducir las ecuaciones de transporte en niveles de escala superiores. El material se organiza de la siguiente manera: Los capítulos 1 y 2 son introductorios. El primero parte del concepto de modelo e incluye una descripción de definiciones fundamentales como son las longitudes espaciales y temporales y las definiciones de algunos números adimensionales. Mientras que en el segundo capítulo se proporciona el instrumental matemático a utilizar en el resto del texto que va desde el uso de escalares, vectores y tensores y sus operaciones fundamentales hasta la deducción de los teoremas integrales más relevantes en fenómenos de transporte. Los capítulos 3-5 tratan sobre la deducción de las ecuaciones diferenciales y condiciones de frontera que aplican en la transferencia de masa, cantidad de movimiento y calor al nivel de escala del continuo. Posteriormente, en el capítulo 6 se expone el tema del transporte en medios porosos para ejemplificar el proceso de escalamiento usando el método del promedio volumétrico y se aplica a tres situaciones de transporte representativas del transporte de cantidad de movimiento, calor y masa. Por último, en el capítulo 7 se presenta el método de expansión en funciones propias, el cual, junto con la fórmula de Green constituyen un método robusto para la solución analítica de ecuaciones diferenciales parciales. El material no es introductorio y no está dirigido a lectores que sea la primera vez que estudian fenómenos de transporte. Como puede notarse, el texto es un enfoque integral de los tres tipos de fenómenos de transporte y se recomienda para alumnos que deseen ver a los fenómenos desde una perspectiva diferente a la que adquirieron cuando los estudiaron de manera segregada. En otras palabras, el texto se recomienda para aquellos alumnos de licenciatura que busquen llevar a cabo un repaso de fenómenos de transporte y para alumnos de posgrado que deseen adquirir un conocimiento más profundo que les sirva para emprender proyectos de investigación. A pesar de lo anterior, varios de los temas que se tocan en este texto pueden ser útiles de manera aislada para alumnos que están cursando por primera vez alguna materia asociada con fenómenos de transporte.