Campos locales

En la aritmética de campos, los campos finitos, los campos de números, y los campos de funciones aparecen tempranamente. Unos lugares intermedios ocupan los campos locales, que son estructuralmente más complejos que los campos finitos y se obtienen completando campos de números o campos de funciones con campo de constantes finito. En este libro se estudian los conceptos básicos sobre campos con una valuación no arquimediana, enfocándose al caso de campos completos con respecto a una valuación discreta y con campo residual finito, es decir, al caso de campos locales. Después de un estudio preliminar exhaustivo de las propiedades elementales de estos campos, se hace un análisis de la norma relativa para extensiones de campos locales y se estudia en detalle el automorfismo de Frobenius de ciertas extensiones. Usando lo anterior, se estudian los grupos de Galois de las extensiones abelianas de campos locales obteniendo la ley de reciprocidad local correspondiente, junto con sus propiedades. Finalmente se describe en forma explícita el morfismo de reciprocidad local en el caso de extensiones de Lubin-Tate y luego se aplica esto al estudio de los grupos de ramificación superior. El libro se puede estudiar en dos cursos con requisitos mínimos: teoría de Galois y elementos de teoría de módulos, de análisis matemático y de topología general, usualmente estudiados en la licenciatura. Los temas desarrollados en el texto conforman un buen lugar de encuentro de diversas ramas de la matemática, dando al estudiante interesado una visión de conjunto de nuestra ciencia.